Limites de suites - Spécialité
Suite géométrique
Exercice 1 : Limite d'une série géométrique (raison positive)
Trouver la limite éventuelle de la suite \((v_n)\) définie par
\[
(u_n) :
\begin{cases}
u_0 = 7 \\
u_{n+1} = 0,59u_n
\end{cases}
\]
\[
(v_n) : v_n = \sum\limits_{k=0}^{n} u_k
\]
(On notera "indéfinie" si la suite n'admet pas de limite)
Exercice 2 : Exprimer la somme des termes d'une suite géométrique (relation de récurrence, q entier ou fraction > 0 et u0 ou u1 entiers > 0)
Soit \((v_n)\), la suite définie par \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 6 \\ \forall n \geq 0, u_{n+1} = \dfrac{9}{10}u_n \end{cases} \] \[ (v_n) : v_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \]
Exprimer \(v_n\) en fonction de n.
Exercice 3 : Écrire la forme explicite d'une suite géométrique connaissant u0 et la relation récurrence (q et u0 >0)
Calculer :
\[
1 + \dfrac{1}{5} + \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2} + \left(\dfrac{1}{5}\right)^{3} + ... + \left(\dfrac{1}{5}\right)^{16}
\]
On donnera le résultat exact sous n'importe quelle forme ne comprenant pas de "...".
On donnera le résultat exact sous n'importe quelle forme ne comprenant pas de "...".
Exercice 4 : Etude d'une suite arithmético-géométrique (sans limite)
Soit \((u_n)\) la suite définie par :
\[ (u_n) :
\begin{cases}
u_0 = 4\\
u_{n+1} = -3 - \dfrac{1}{2}u_n
\end{cases}
\]Calculer \(u_1\).
Calculer \(u_2\).
Calculer \(u_3\).
Calculer \(u_4\).
On définit \(\left(v_n\right)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par
\[ v_n = 2 + u_n \]Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\)
Exprimer \(v_n\) uniquement en fonction de n.
Exprimer \(u_n\) uniquement en fonction de n.
Exercice 5 : Calculer la somme de termes à partir d'un rang donné d'une suite géométrique (relation de récurrence, q entier > 0 et u0 entier > 0)
Soit \((u_n)\), la suite définie par \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 1 \\ \forall n \geq 0, u_{n+1} = 5u_n \end{cases} \]
Calculer la somme suivante,
\[
u_{2} + u_{3} + ... + u_{21}
\]